Question

【題目】設兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線，

（1）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的焦點F？證明你的結論；

（2）若，弦AB是否過定點，若過定點，求出該定點，若不過定點，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），證明見解析 （2）過定點，（0,）

【解析】

(1)對直線的斜率是否存在進行討論，利用中垂線的性質列方程組求出直線的截距b的范圍，從而得出結論；

(2)設AB的方程為：y=kx+b，聯立方程組，根據根與系數的關系和求出b的值，從而得到定點的坐標.

解：（1）∵拋物線，即，

∴焦點為

(i)直線的斜率不存在時，顯然有

(ii)直線的斜率存在時，設為k，截距為b

即直線：y=kx+b，由已知得：

即的斜率存在時，不可能經過焦點

所以當且僅當=0時，直線經過拋物線的焦點F

（2）設直線：y=kx+b，

聯立方程組：

若，則

過定點（0,）. ，

因此直線AB過定點.