Question

（本小題滿分12分）
如圖，已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點．
（1）已知，，求的值；
（2）求的最小值．

Answer 1

(1)0
(2)16

解法一：（Ⅰ）設點，則，由得：
，化簡得．
（Ⅱ）（1）設直線的方程為：
．
設，，又，
聯立方程組，消去得：，，
由，得：
，，整理得：
，，
．
解法二：（Ⅰ）由得：，
， ， ．
所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．
（Ⅱ）（1）由已知，，得．
則：．…………①
過點分別作準線的垂線，垂足分別為，，
則有：．…………②
由①②得：，即．
（Ⅱ）（2）解：由解法一，

．
當且僅當，即時等號成立，所以最小值為16．