Question

【題目】已知，其中.

（1）求函數的極大值點；

（2）當時，若在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】試題分析：（1）求導，對進行四類討論，得到極大值的情況；（2）在上至少存在一點，使成立，等價于當時， ，結合（1）的單調性情況，求，得到的取值范圍.

試題解析：

（1）由已知 ，

當，即時， 在上遞減，在上遞增，無極大值；

當，即時， 在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以在處取極大值；

當，即時， 在上遞增，無極大值；

當時，即時， 在上遞增，在上遞減，在上遞增，故在處取極大值.

綜上所述，當或時， 無極大值；

當時， 的極大值點為；

當時的極大值點為.

（2）在上至少存在一點，使成立，等價于當時， .

由（1）知，①當時，函數在上遞減，在上遞增，

∴，

∴要使成立，必須使成立或成立，

由，解得，

由，解得.

∵，∴.

②當時，函數在上遞增，在上遞減，

∴，

綜上所述，當時，在上至少存在一點，使成立.