Question

在數列{a_n}中，a₁=-

1

2

，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），設b_n=a_n+n．
（1）證明：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+n．可得

bn+1

bn

=

an+1+n+1

an+n

=

1 2 (an-n-2)+n+1

an+n

=

1

2

，即可證明；
（2）由（1）可得bn=(

1

2

)n．nb_n=n•(

1

2

)n．利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+n．
∴

bn+1

bn

=

an+1+n+1

an+n

=

1 2 (an-n-2)+n+1

an+n

=

1

2

an+n

an+n

=

1

2

，
b₁=a₁+1=

1

2

．
∴數列{b_n}是等比數列，首項為

1

2

，公比為

1

2

；
（2）由（1）可得bn=(

1

2

)n．
∴nb_n=n•(

1

2

)n．
∴數列{nb_n}的前n項和T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1，
∴

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1，
∴T_n=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n=2-

2+n

2n

．

點評：本題考查了遞推式的應用、“錯位相減法”、等比數列的通項公式性質及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．