Question

如圖所示，在直角三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠ABC=90°，M、N分別為B₁B、A₁C₁的中點．
（1）求證：平面ABC₁⊥平面B₁BC；
（2）求證：MN∥平面ABC₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）根據直三棱柱的性質，利用面面垂直性質定理證出AB⊥平面BB₁C₁，得出AB⊥CB₁．正方形BCC₁B₁中，對角線CB₁⊥BC₁，由線面垂直的判定定理可證出CB₁⊥平面ABC₁；
（II）取AC₁的中點F，連BF、NF，利用三角形中位線定理和平行四邊形的性質，證出EF∥BM且EF=BM，從而得到BMNF是平行四邊形，可得MN∥BF，結合線面平行判定定理即可證出MN∥面ABC₁．

解答： 解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
側面BB₁C₁C⊥底面ABC，且側面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB₁C₁   　　　　　　 　　…（2分
∵CB₁?平面BB₁C₁C，∴AB⊥CB₁．…（4分）
∵BC=CC₁，CC₁⊥BC，∴BCC₁B₁是正方形，
∴CB₁⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴CB₁⊥平面ABC₁，
CB₁?平面B₁BC；
∴平面ABC₁⊥平面B₁BC；
（Ⅱ）取AC₁的中點F，連BF、NF．…（7分）如圖
在△AA₁C₁中，N、F是中點，
∴NF∥AA₁，NF=

1

2

AA1
又∵正方形BCC₁B₁中，BM∥AA₁，BM=

1

2

AA1
∴NF∥BM，且NF=BM…（8分）
故四邊形BMNF是平行四邊形，可得MN∥BF，…（10分）
∵BF?面ABC₁，MN?平面ABC₁，
∴MN∥面ABC₁…（12分）

點評：本題給出底面為直角三角形的直三棱柱，在已知側棱與底面直角邊長相等的情況下證明線面垂直．著重考查了空間直線與平面平行、垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．