Question

下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①正切函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上滿(mǎn)足f（a）f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在（a，b）上有零點(diǎn)；
③f(x)=log2(x+

x2+1

)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
④若一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，那么它一定有最小正周期．

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由正切函數(shù)的圖象可知正確函數(shù)在整個(gè)定義域上不單調(diào)，有無(wú)數(shù)個(gè)單調(diào)增區(qū)間；
若f（a）f（b）＜0，但函數(shù)在兩端點(diǎn)處不連續(xù)，則不一定在（a，b）上有零點(diǎn)；
由定義判斷出f(x)=log2(x+

x2+1

)是奇函數(shù)說(shuō)明③正確；
舉例說(shuō)明④錯(cuò)誤．

解答： 解：①正切函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤，正確函數(shù)在整個(gè)定義域上不單調(diào)，有無(wú)數(shù)個(gè)單調(diào)增區(qū)間；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上滿(mǎn)足f（a）f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在（a，b）上有零點(diǎn)，錯(cuò)誤，若函數(shù)在兩端點(diǎn)處不連續(xù)，則不一定在（a，b）上有零點(diǎn)；
③函數(shù)f(x)=log2(x+

x2+1

)的定義域?yàn)镽，且f(-x)=log2(-x+

(-x)2+1

)=log2(-x+

x2+1

)=log2(x+

x2+1

)-1=-log2(x+

x2+1

)=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，正確；
④若一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，那么它一定有最小正周期，錯(cuò)誤，例如常數(shù)函數(shù)f（x）=1是周期函數(shù)，但無(wú)最小正周期．
∴正確的命題是③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，是中檔題．