Question

【題目】在底面是邊長為6的正方形的四棱錐P--ABCD中，點P在底面的射影H為正方形ABCD的中心，異面直線PB與AD所成角的正切值為，則四棱錐P--ABCD的內切球與外接球的半徑之比為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

確定異面直線PB與AD所成角為∠PBC，取BC中點E，則tan∠PBC，求出PE＝5，HP＝4，可得四棱錐P﹣ABCD的表面積、體積，進而求出內切球的半徑，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出四棱錐P﹣ABCD的內切球與外接球的半徑之比．

由題意，四棱錐P﹣ABCD為正四棱錐，PA＝PB＝PC＝PD，

∵AD∥BC，

∴異面直線PB與AD所成角為∠PBC，

取BC中點E，則tan∠PBC，

∴PE＝5，HP＝4，

從而四棱錐P﹣ABCD的表面積為S96，V48，

∴內切球的半徑為r．

設四棱錐P﹣ABCD外接球的球心為O，外接球的半徑為R，則OP＝OA，

∴（4﹣R）2+（3）2＝R2，

∴R，

∴．

故選D．