Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若對恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：若存在零點，則在區間上僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求得時的導數，可得切線的斜率和切點，可得切線方程；（Ⅱ）若對恒成立，即為對恒成立，設，求得導數和單調性、極大值即最大值，可得的范圍；（Ⅲ）若存在零點，即關于的方程有解，可得有解，由的單調性，即可得證．

（Ⅰ）當時，，

所以，

所以切線方程為

（Ⅱ）對恒成立

等價于，即恒成立

設，則

由解得

與在區間上的情況如下

		0
	增	極大	減

所以函數的單調增區間是，單調減區間是.

函數在處取得極大值（也是最大值）

所以，即的取值范圍是

（Ⅲ）若函數存在零點，則關于的方程有解，

即方程有解，

由（Ⅱ）可知函數的單調增區間是，單調減區間是，

因為，所以當時，，

又因為當時，，

所以若方程有解，則在上僅有一個解，

即若存在零點，則在上僅有一個零點.