Question

已知數(shù)列和滿足：，其中為實數(shù)，為正整數(shù).
（1）對任意實數(shù)，求證：不成等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.
（3）設(shè)為數(shù)列的前項和.是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列；（3）存在，且.

試題分析：（1）證明否定性命題，可用反證法.如本題中可假設(shè)存在，使成等比數(shù)列，則可由來求，若求不出，說明假設(shè)錯誤，結(jié)論是不存在，，但這個式子化簡后為，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比數(shù)列，由題意可先求出的遞推關(guān)系，，這時還不能說明就是等比數(shù)列，還要求出，，只有當(dāng)時，數(shù)列才是等比數(shù)列，因此當(dāng)時，不是等比數(shù)列，當(dāng)時，是等比數(shù)列.（3）存在性命題的解法，都是假設(shè)存在，然后求解，由（2）當(dāng)時，，則滿足題意，當(dāng)時，，，即，即，
我們只要求出的最小值，從此式可看出最小值在為正奇數(shù)時取得，利用函數(shù)的單調(diào)性知時取最小值.
（1）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有,
即矛盾.
所以不成等比數(shù)列.          4分
（2）因為
        6分
又,
所以當(dāng)，，(為正整數(shù))，此時不是等比數(shù)列.  8分
當(dāng)時，，由上式可知，∴(為正整數(shù)) ，
故當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，－為公比的等比數(shù)列.          10分
（3）由（2）知，當(dāng)時，, 則，所以恒成立.
當(dāng)，得，于是        13分
要使對任意正整數(shù)，都有成立，即           
，令，
則當(dāng)為正奇數(shù)時， 當(dāng)為正偶數(shù)時，
∴的最大值為, 于是可得
綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有         18分