Question

已知a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ，求a_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據數列的遞推關系，利用構造法，即可得到結論．

解答： 解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，
∴等式兩邊同時除以2ⁿ得，

an

2n

=

2an-1

2n

+1=

an-1

2n-1

+1，
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
故數列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

為首項，公差d=1的等差數列，
則

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

，
∴a_n=2ⁿ•（n-

1

2

）．

點評：本題主要考查數列通項公式的求解，根據數列的遞推關系，利用構造法，構造等差數列是解決本題的關鍵．