Question

給出下列結論：
①函數f（x）=lnx-

3

x

在區間（e，3）上有且只有一個零點；
②已知l是直線，α、β是兩個不同的平面．若α⊥β，l?α，則l⊥β；
③已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．若m⊥α，m⊥n，則n∥α；
④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，在求邊c的長時有兩解．
其中所有正確結論的序號是：

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：利用導數判斷函數f（x）=lnx-

3

x

的單調性，結合函數零點存在性定理判斷①；
由空間中的點、線、面的位置關系判斷②；利用正弦定理結合已知分析角B的可能情況，從而得到邊c的解得情況判斷④．

解答： 解：①由f（x）=lnx-

3

x

，得f′(x)=

1

x

+

3

x2

，當x∈（e，3）時f′（x）＞0，
∴f（x）在（e，3）上為單調增函數，又f(e)•f(3)=(lne-

3

e

)•(ln3-

3

3

)＜0，
∴函數f（x）=lnx-

3

x

在區間（e，3）上有且只有一個零點，①正確；
②由α⊥β，l?α，可得l?β或l∥β或l與β相交，②錯誤；
③m⊥α，m⊥n，可得n∥α或n?α，③錯誤；
④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，
則由正弦定理得：

20

sin40°

=

28

sinB

，即sinB=

7

5

sin40°，則B有一個銳角和一個鈍角，
對應的邊c的長有兩解，命題④正確．
∴正確的命題是①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數零點的判斷方法，考查了正弦定理在解三角形中的應用，訓練了學生的空間想象能力，是中檔題．