Question

如圖所示，已知拋物線y=x²的動弦AB所在直線與圓x²+y²=1相切，分別過點A、B的拋物線的兩條切線相交于點M，求點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：解法一：設拋物線的弦AB與圓x²+y²=1切于點P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=1，過P點的圓的切線方程為x₀x+y₀y=1．聯立拋物線方程后，根據△＞0，可得2-

5

＜y₀＜2+

5

，進而結合-1≤y₀≤1且y₀≠0，可得2-

5

＜y₀≤1且y₀≠0．設出A，B的坐標，由韋達定理可得x₁+x₂=-

x0

y0

①，x₁x₂=-

1

y0

②．求出AM，BM的方程y=2x₁x-x₁²．③y=2x₂x-x₂²．④，進而可得

x=- x0 2y0 y=- 1  y0

，即

x0= 2x y y0=- 1 y

，代入圓的方程可得M點軌跡方程；
解法二：設直線AB的方程為y=kx+b，且A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），直線AB與圓相切，故

|b|

1+k2

=1，聯立直線方程和拋物線方程，類比解法一中兩個交點，利用韋達定理可得x₁+x₂=k，x₁x₂=-b．過點A的拋物線的切線方程為y=2x₁x-x₁²．①過點B的拋物線的切線方程為y=2x₂x-x₂²．②聯立①②解得

x= x1+x2 2 y=x1•x2

，設M=（x，y），則

x= x1+x2 2 = k 2 y=x1•x2=-b

，結合b²=1+k²，可得M點軌跡方程；

解答： 解法一：設拋物線的弦AB與圓x²+y²=1切于點P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=1，過P點的圓的切線方程為x₀x+y₀y=1．
由

x0x+y0y=1 y=x2

得y₀x²+x₀x-1=0．（*）
由△=x₀²+4y₀=-y₀²+4y₀+1＞0，得2-

5

＜y₀＜2+

5

．
又∵-1≤y₀≤1且y₀≠0，∴2-

5

＜y₀≤1且y₀≠0．
令A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），知x₁、x₂是方程（*）的兩個實根，由根與系數的關系，得x₁+x₂=-

x0

y0

①，x₁x₂=-

1

y0

②．
過A點的拋物線的切線AM的方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²．③
同理，BM的方程為y=2x₂x-x₂²．④
聯立①②③④，解得

x=- x0 2y0 y=- 1  y0

，
∴

x0= 2x y y0=- 1 y

，
代入x₀²+y₀²=1得（

2x

y

）²+（-

1

y

）²=1，
整理，得y²-4x²=1（x∈R，y≤-1或y＞2+

5

），這就是點M的軌跡方程．
解法二：設直線AB的方程為y=kx+b，且A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
∵直線AB與圓相切，故

|b|

1+k2

=1，即b²=1+k²．
由

y=kx+b y=x2

得x²-kx-b=0，
由△=k²+4b=b²+4b-1＞0，得b＜-2-

5

或b＞-2+

5

．
又∵b²=1+k²≥1，∴b＜-2-

5

或b≥1．由根與系數關系有x₁+x₂=k，x₁x₂=-b．
又過點A的拋物線的切線方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²．①
同理，過點B的拋物線的切線方程為y=2x₂x-x₂²．②
聯立①②解得

x= x1+x2 2 y=x1•x2

，設M=（x，y），則

x= x1+x2 2 = k 2 y=x1•x2=-b

又∵b²=1+k²，∴y²-4x²=1（x∈R，y≤-1或y＞2+

5

），這就是點M的軌跡方程．

點評：本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，直線與圓錐曲線的關系，綜合性強，運算量大，轉化困難，難度較大，屬于難題．