Question

如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別為CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中點，N是BC的中點，M在四邊形EFGH上以及其內(nèi)部運動，若MN∥平面A1BD，則M的軌跡的長度是（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、π
• D、

  π

  2

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，連接GH、HN，根據(jù)面面平行的判定定理得到：平面A₁BD∥平面GHN，又點M在四邊形上及其內(nèi)部運動，從而得到點M須在線段GH上運動，即滿足條件，求出GH即可得到結(jié)果．

解答： 解：連接GH、HN，則GH∥BA₁，HN∥BD，
∵在邊長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中點，
N是BC的中點，M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運動，MN∥平面A₁BD，
∴平面A₁BD∥平面GHN，
又點M在四邊形上及其內(nèi)部運動，
則點M須在線段GH上運動，即滿足條件，GH=

2

2

×2=

2

則點M軌跡的長度是

2

，
故選：A．

點評：本題重點考查了平面與平面平行的性質(zhì)，以及線段長度的求解，同時考查了空間想象能力、推理能力、化歸的思想，屬于中檔題．