Question

【題目】數列的首項，該數列是公比為的等比數列.記，.

（1）證明：當時，對一切，都有.

（2）當時，是否存在自然數，使得對任何自然數，都有？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）用數學歸納法.

時，；另一方面，在中

令，則有.可見時命題成立.

設時命題成立.即

.

則有

.

可見，時命題也成立.

綜上所證知，對一切，命題成立.

（2）由知，的符號取決于的符號.因為，所以為奇數時，；為偶數時，.如果題目條件中的存在，則一定是偶數.

考查

.

可見，在的條件下，等式右端的符號取決于的符號.

又因為，所以與的符號相反或二者同時為0.

設，則有時，；

時，.

于是，是具有下列性質的項：

且.另外，顯然對一切，，所以，.取，則對于任何，都有.