Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣a|+|x﹣5|．
（1）當a=1時，求f（x）的最小值；
（2）如果對任意的實數x，都有f（x）≥1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意將絕對值符號去掉得分段函數：

，

作出函數的圖象，如圖：

由圖象可知，函數f（x）的最小值為4

（2）解：∵對x∈R，f（x）≥1，

∴|x﹣a|+|x﹣5|≥1對一切實數x恒成立，

∵|x﹣a|+|x﹣5|=|a﹣x|+|x﹣5|≥|a﹣5|，

∴|a﹣5|≥1，

∴a≥6或a≤4，

∴a的取值范圍為（﹣∞，4]∪[6，+∞）．

【解析】（1）將f（x）寫成分段函數的形式，畫出函數圖象即可；（2）根據絕對值的幾何意義得到關于a的不等式，求出a的范圍即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．