Question

【題目】某無縫鋼管廠只生產甲、乙兩種不同規格的鋼管，鋼管有內外兩個口徑，甲種鋼管內外兩口徑的標準長度分別為和，乙種鋼管內外兩個口徑的標準長度分別為和.根據長期的生產結果表明，兩種規格鋼管每根的長度都服從正態分布，長度在之外的鋼管為廢品，要回爐熔化，不準流入市場，其他長度的鋼管為正品.

（1）在該鋼管廠生產的鋼管中隨機抽取10根進行檢測，求至少有1根為廢品的概率；

（2）監管部門規定每種規格鋼管的“口徑誤差”的計算方式為：若鋼管的內外兩個口徑實際長分別為，標準長分別為，則“口徑誤差”為，按行業生產標準，其中“一級品”“二級品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是（正品鋼管中沒有“口徑誤差”大于的鋼管），現分別從甲、乙兩種產品的正品中各隨機抽取100根，分別進行“口徑誤差”的檢測，統計后，繪制其頻率分布直方圖如圖所示：

　　　　甲種鋼管　　　　　　　　　　　　　　　乙種鋼管

已知經銷商經銷甲種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.3，“二級品”的利潤率為0.18，“合格品”的利潤率為0.1；經銷乙種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.25，“二級品”的利潤率為0.15，“合格品”的利潤率為0.08，若視頻率為概率.

（ⅰ）若經銷商對甲、乙兩種鋼管各進了100萬元的貨，和分別表示經銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤，求和的數學期望和方差，并由此分析經銷商經銷兩種鋼管的利弊；

（ⅱ）若經銷商計劃對甲、乙兩種鋼管總共進100萬元的貨，則分別在甲、乙兩種鋼管上進貨多少萬元時，可使得所獲利潤的方差和最小？

附：若隨機變量服從正態分布，則，，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ），，，利弊見解析；（ⅱ）甲種鋼管上投資25萬元，在乙種鋼管上投資75萬元

【解析】

（1）結合題意，由正態分布的概率進行計算即可；

（2）（ⅰ）根據題意，求解分布列，再根據分布列求解期望和方差即可；

（ⅱ）構造方差和的函數，根據方差的運算性質，利用已知求函數的最小值即可.

（1）由正態分布可知，抽取的1根鋼管的長度在之內的概率為0.9974，

則這10根鋼管的長度全在內的概率為，

則這10根中至少有1根為廢品的概率約為.

（2）（ⅰ）由利潤率和投額可得可為30萬元、18萬元、10萬元，

可為25萬元、15萬元、8萬元.

又由直方圖可得對應的頻率為0.2、0.5、0.3和0.2、0.8、0，

所以隨機變量的分布列為

（萬元）	30	18	10
	0.2	0.5	0.3

（萬元），

.

隨機變量的分布列為

（萬元）	25	15	8
	0.2	0.8	0

（萬元），.

經銷商經銷甲種鋼管的平均利潤18萬元大于經銷乙種鋼管的平均利潤17萬元，

但經銷甲種鋼管的方差48大于經銷乙種鋼管的方差16.

所以經銷甲種鋼管的平均利潤大，方差也大，相對不穩定；

而經銷乙種鋼管的平均利潤小，方差也小，相對穩定.

（ⅱ）設經銷商進了萬元的甲種鋼管，則進了萬元的乙種鋼管，

令為經銷甲種鋼管所獲利潤的方差與經銷乙種鋼管所獲利潤的方差的和，則

.

當時，的值最小.

故在甲種鋼管上投資25萬元，在乙種鋼管上投資75萬元時，

可使經銷甲種鋼管所獲利潤的方差與經銷乙種鋼管所獲利潤的方差和最小.