Question

【題目】已知圓O：x2+y2＝3上的一動點M在x軸上的投影為N，點P滿足．

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）若直線l與圓O相切，且交曲線C于點A，B，試求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）3x2+2y2＝9．（2）最大值為2

【解析】

（1）設根據已知，將點坐標用表示，代入圓方程，即可求解；

（2）設直線l的方程為，根據條件求出關系，將直線方程與橢圓方程聯立，消去，得到關于的方程，利用根與系數關系，求出關于的函數，利用換元法，運用函數的單調性，即可求解.

（1）設P（x，y），M（x0，y0），則N（x0，0），∵，

∴（x 0﹣x，0﹣y）（0，0﹣y0），即有，

點M在圓O：x2+y2＝3上所以x02+y02＝3，

代入得，

∴點P的軌跡C為．

（2）由已知可得當直線l的斜率不存在時不合題意．

故可設直線l的方程為y＝kx+t，即kx﹣y+t＝0．

∵圓O與直線l相切，∴圓O到直線l的距離，

∴t2＝3（k2+1），

由可得（3+2k2）x2+4ktx+2t2﹣9＝0，

恒成立．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則，

∵t2＝3（k2+1），

∴|AB|

，

，其中．

令，λ∈[1，+∞）．

∵恒成立，∴g（λ）在[1，+∞）上單調遞增，

∴g（λ）≥g（1）＝3，即，，

．

故|AB|的最大值為2，當且僅當λ＝1，即k＝0時取等號．