Question

已知橢圓C與雙曲線x²-y²=2有共同焦點，且經過點P（

6

，1）
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）直線y=x+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，求弦長AB的長．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出雙曲線的焦點，即得橢圓的c=2，設出橢圓的方程，代入P的坐標，解關于a，b的方程，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）直線y=x+2與橢圓方程聯(lián)立，消去y，解關于x的方程，求得交點A，B，再由兩點的距離公式計算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）雙曲線x²-y²=2焦點為（±2，0），
則橢圓的c=2，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則4=a²-b²，又

6

a2

+

1

b2

=1，
解得a=2

2

，b=2，
即有橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）直線y=x+2與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可得3x²+8x=0，
解得x=0或-

8

3

．
可得A（0，2），B（-

8

3

，-

2

3

），
則|AB|=

(0+ 8 3 )2+(2+ 2 3 )2

=

8

3

2

．

點評：本題考查雙曲線和橢圓的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，運用兩點的距離公式，考查運算能力，屬于基礎題．