Question

已知函數f（x）=

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mx2-4mx+m+3

的定義域為R，判斷函數g（x）=x²+2mx+1的零點情況．

Answer 1

考點：函數的定義域及其求法,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：先將函數f（x）=

1

mx2-4mx+m+3

的定義域為R轉化成mx²-4mx+m+3＞0在R上恒成立，然后討論m，從而求出m的范圍，進而根據根的判別式判斷函數g（x）=x²+2mx+1的零點情況．

解答： 解：∵函數f（x）=

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mx2-4mx+m+3

的定義域為R
∴mx²-4mx+m+3＞0在R上恒成立
①當m=0時，符合題意
②

m＞0 △=16m2-4m(m+3)＜0

解得0＜m＜1
∴綜上所述0≤m＜1
由函數g（x）=x²+2mx+1可知△=4m²-4
∵0≤m＜1
∴△=4m²-4＜0，
∴函數g（x）=x²+2mx+1無零點．

點評：本題主要考查了恒成立問題，需要討論二次項系數，同時考查了二次函數零點的判定，屬于基礎題．