Question

已知橢圓和橢圓的離心率相同，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設為橢圓上一點，過點作直線交橢圓于、兩點，且恰為弦的中點。求證：無論點怎樣變化，的面積為常數，并求出此常數.

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）的面積為常數．

解析試題分析：（1）由題知，且，解這個方程組求得即可得橢圓的方程；（2）涉及直線與曲線的關系的問題，多是將直線方程與曲線方程聯立再用韋達定理解決.此題中有兩個橢圓，將哪個橢圓的方程與直線方程聯立？此題意即直線與的交點的中點在上，故應將直線方程與的方程聯立由韋達定理得中點坐標，再將中點坐標代入的方程.然后求出三角形OAB的面積的表達式，再利用前面所得關系式化為一常數即可.
試題解析：（1）由題知，且 即，橢圓的方程為；    4分
（2）當直線的斜率不存在時，必有，此時，        5分
當直線的斜率存在時，設其斜率為、點，則
與橢圓聯立，得，設，
則  即            8分
又             9分



綜上，無論怎樣變化，的面積為常數．            12分
考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關系.