Question

如圖，已知正三角形ABC的邊長為1，設

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（Ⅰ）若D是AB的中點，用

a

，

b

表示向量

CD

；
（Ⅱ）求2

a

+

b

與-3

a

+2

b

的夾角．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用中點的向量表示及向量的三角形法則，即可得到所求向量；
（Ⅱ）運用向量的數量積的定義和性質：向量的平方即為模的平方，以及向量的夾角公式，計算即可得到夾角．

解答： 解：（Ⅰ）

CD

=

AD

-

AC

=

1

2

AB

-

AC

=

1

2

a

-

b

；
（Ⅱ）由題意知，|

a

|=|

b

|=1，

a

與

b

的夾角為60°，
則

a

•

b

=1×1×

1

2

=

1

2

，
（2

a

+

b

）•（-3

a

+2

b

）=-6

a

2+

a

•

b

+2

b

2=-6+

1

2

+2=-

7

2

，
|2

a

+

b

|=

(2 a + b )2

=

4 a 2+4 a • b + b 2

=

4+4× 1 2 +1

=

7

，
|-3

a

+2

b

|=

(-3 a +2 b )2

=

9 a 2-12 a • b +4 b 2

=

9-12× 1 2 +4

=

7

設2

a

+

b

與-3

a

+2

b

的夾角為θ，則cosθ=

(2 a + b )•(-3 a +2 b )

|2 a + b |•|-3 a +2 b |

=-

1

2

，
所以2

a

+

b

與-3

a

+2

b

的夾角為120°．

點評：本題考查平面向量的數量積的定義和性質，考查中點的向量表示，向量的三角形法則，考查向量的平方即為模的平方，以及向量的夾角公式，考查運算能力，屬于中檔題．