Question

焦點在x軸上的雙曲線，它的兩條漸近線的夾角為

π

3

，焦距為12，求此雙曲線的方程及離心率．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設焦點在x軸上的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），由c=6，得到a²+b²=36．再由漸近線方程，運用夾角公式，得到a，b的方程，解得即可得到雙曲線方程和離心率．

解答： 解：設焦點在x軸上的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）
則漸近線方程為y=±

b

a

x，2c=12，即c=6，即有a²+b²=36．①
它的兩條漸近線的夾角為

π

3

，則有tan

π

3

=|

2b a

1- b2 a2

|，
即有2ab=±

3

（a²-b²）．②
由①②解得，a=3

3

，b=3或a=3，b=3

3

，
則雙曲線的方程為

x2

27

-

y2

9

=1及離心率e=

c

a

=

2 3

3

，
或

x2

9

-

y2

27

=1，e=2．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查兩直線的夾角公式，考查運算能力，屬于中檔題．