Question

設平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD，AB∥EF，∠BAF=∠ABC=90°，BC=CD=AF=EF=1，AB=2．
（Ⅰ） 證明：CE∥平面ADF；
（Ⅱ） 求直線DF與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由于AB∥CD，AB∥EF，可得CD∥EF．進而點到四邊形CDFE是平行四邊形．可得CE∥DF，利用線面平行的判定定理可得CE∥平面ADF．
（II）如圖所示，取AB的中點O，連接OE，OD．由題意可得EO⊥平面ABCD，OD⊥平面ABEF．建立空間直角坐標系．可得B（0，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．

BD

=（1，1，0），

DE

=（-1，0，1），

DF

=（-1，1，1）．設平面BDE的法向量為

n

=（x，y，z），利用線面垂直的性質可得

n

=（1，-1，1）．設直線DF與平面BDE所成角為θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

DF

＞|=

| n • DF |

| n || DF |

即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB∥CD，AB∥EF，
∴CD∥EF．
又∵CD=EF，
∴四邊形CDFE是平行四邊形．
∴CE∥DF，
又CE?平面ADF，DF?平面ADF．
∴CE∥平面ADF．

（Ⅱ）解：如圖所示，取AB的中點O，連接OE，OD．
由題意可得EO⊥平面ABCD，OD⊥平面ABEF．
建立空間直角坐標系．
可得B（0，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．

BD

=（1，1，0），

DE

=（-1，0，1），

DF

=（-1，1，1）．
設平面BDE的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • BD =x+y=0 n • DE =-x+y=0

，取

n

=（1，-1，1）．
設直線DF與平面BDE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

DF

＞|=

| n • DF |

| n || DF |

=

1

3 × 3

=

1

3

．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面所成的角、向量垂直與數量積的關系等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力，屬于難題．