Question

已知四棱錐P－ABCD，底面是邊長為1的正方形，側棱PC長為2，且PC⊥底面ABCD，E是側棱PC上的動點。

   （Ⅰ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結論；

   （Ⅱ）求點C到平面PDB的距離；

   （Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

證明：(Ⅰ) 不論點E在何位置，都有BD⊥AE                      …………1分

連結AC，由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC ………3分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不論點E在何位置，都有AE平面PAC 

∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE                    ………………5分

解：（Ⅱ）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，

側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.                      ………………7分

設點C到平面PDB的距離為d，

，    

 ,  , 

---------------------------10分

(Ⅲ) 解法1：在平面DAE內過點D作DG⊥AE于G，連結BG

∵CD=CB,EC=EC, ∴≌

∴ED=EB, ∵AD=AB  ∴△EDA≌△EBA

∴BG⊥EA ∴為二面角D－EA－B的平面角 ……………… 12分

∵BC⊥DE,   AD∥BC  ∴AD⊥DE

在Rｔ△ADE中，==BG

在△DGB中，由余弦定理得

∴=                                ………………15分

解法２：以點C為坐標原點，CD所在的直線為ｘ軸建立空間直角坐標系如圖示：

則,從而………………  11分

設平面ADE和平面ABE的法向量分別為

由法向量的性質可得：，

令，則，

∴                        ………13分

設二面角D－AE－B的平面角為，則

∴                             …………………………………  15分