Question

【題目】如圖，已知橢圓，分別為其左、右焦點，過的直線與此橢圓相交于兩點，且的周長為8，橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標系中，已知點與點，過的動直線（不與軸平行）與橢圓相交于兩點，點是點關于軸的對稱點．求證：

（i）三點共線．

（ii）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

Ⅰ由三角形的周長可得，根據離心率可得，即可求出，則橢圓方程可求；Ⅱ當直線l的斜率不存在時，A、B分別為橢圓短軸兩端點，滿足Q，A，三點共線當直線l的斜率存在時，設直線方程為，聯立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，然后利用向量證明．由可知Q，A，三點共線，即，問題得以證明.

解：Ⅰ的周長為8，，即，

，，，

故橢圓C的方程為

Ⅱ證明：當直線l的斜率不存在時，A、B分別為橢圓短軸兩端點，滿足Q，A，三點共線．

當直線l的斜率存在時，設直線方程為，

聯立，得．

設，，則，

，，

，，

．

與共線，則Q，A，三點共線．

由可知Q，A，三點共線，