Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做x軸的垂線與射線y=

3

x（x≥0）交于點(diǎn)Q，求

OP

•

OQ

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosα，sinα），則Q的坐標(biāo)為（cosα，

3

cosα）（-

π

2

≤α≤

π

2

），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最小值．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosα，sinα），
則Q的坐標(biāo)為（cosα，

3

cosα）（-

π

2

≤α≤

π

2

），
即有

OP

•

OQ

=cos²α+

3

sinαcosα=

1

2

（1+cos2α）+

3

2

sin2α
=

1

2

+sin（2α+

π

6

），
由-

π

2

≤α≤

π

2

，可得-

5π

6

≤2α+

π

6

≤

7π

6

，
即有-1≤sin（2α+

π

6

）≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)2α+

π

6

=-

π

2

，即α=-

π

3

時(shí)，

OP

•

OQ

取得最小值，且為

1

2

-1=-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．