Question

已知函數f（x）=2sin（x+

π

3

）•cos（x+

π

3

）-sin（2x+3π）．
（I）求 f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位，得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（I）由三角函數的恒等變換化簡解析式可得f（x）=sin（2x+

π

3

），由周期公式可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得f（x）的單調遞增區間．（Ⅱ）由已知可得g（x）=cos（2x+

π

3

），從而可求函數g（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（I）∵f（x）=2sin（x+

π

3

）•cos（x+

π

3

）-sin（2x+3π）．
=sin（2x+

2π

3

）+sin2x=sin2xcos

2π

3

+cos2xsin

2π

3

+sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

）
∴T=

2π

2

=π
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
故f（x）的單調遞增區間是：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z
（Ⅱ）由已知可得g（x）=f（x+

π

4

）=sin[2（x+

π

4

）+

π

3

]=sin（2x+

π

2

+

π

3

）=cos（2x+

π

3

）
∴x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
故當2x+

π

3

=π，即x=

π

3

時，g（x）_min=g（

π

3

）=-1；
故當2x+

π

3

=

π

3

，即x=0時，g（x）_max=g（0）=

1

2

．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．