Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點.

（1）在平面內求一點，使平面，并證明你的結論；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）點為的中點；證明見解析（2）

【解析】

以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，可求出各點的坐標

（1）設，根據線面垂直的性質，可得，進而可求出值，得到點的位置；

（2）求出平面的法向量為，及的方向向量的坐標，代入向量夾角公式，可得與平面所成角的正弦值.

解：以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系（如圖），設，則，，，，，，，

（1）設，則平面，，

，所以，

，所以，

∴點坐標為，即點為的中點.

（2）設平面的法向量為，

由得，，即，

取，則，，得.

，

所以，與平面所成角的正弦值的大小為.