Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調區間；

（2）若恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

(1)對函數求導,再根據的正負分類討論單調性即可;

(2)解法一:若恒成立,即,根據(1)中的單調性求出其最大值即可列式求解;解法二:若恒成立,即恒成立,構造函數,利用導數求出其最大值即可得出結論;

(3)由(2)知當時,有在恒成立,令,即可推出,再對不等式兩邊累加求和,即可推出結論.

(1)函數的定義域為,,

①當時,,則在上是增函數;

②當時,由,得;由,得,

則在上是增函數,在上是減函數.

(2)解法一:

由(1)知時,在遞增,而,

所以不恒成立,故,

又由(1)知時,

因為恒成立,

所以,解得,

所以實數的取值范圍為.

解法二:

由題意知,因為恒成立,所以恒成立,

令,則,

令,令,

所以在上遞增,在上遞減,

所以,

所以實數的取值范圍為.

(3)由(2)知,當時,有在恒成立,

令,則,

即,從而,

所以,

即.