Question

二次函數y=-

5

4

x²-

17

4

x+1與直線y=-

1

2

x+1相交于A、B兩點，A點在y軸上，點N是二次函數圖象上一點（點N在AB上方），連接AN、BN，求△ABN的最大面積．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：本題可以先用二次函數y=-

5

4

x²-

17

4

x+1與直線y=-

1

2

x+1聯列方程組，求出交點A、B的坐標，再將直線y=-

1

2

x+1平移至與二次函數y=-

5

4

x²-

17

4

x+1的圖象相切，得到直線l′，求出直線l′的方程，再利用距離公式求出直線y=-

1

2

x+1與直線l′：y=-

1

2

x+

61

16

的距離，得到三角形的高的最大值，從而求出△ABN的最大面積，得到本題結論．

解答： 解：∵二次函數y=-

5

4

x²-

17

4

x+1與直線y=-

1

2

x+1相交于A、B兩點，
∴-

5

4

x²-

17

4

x+1=-

1

2

x+1，即x²+3x=0，
∴

x=-3 y= 5 2

或

x=0 y=1

，
∴A（-3，

5

2

），B（0，1），
∴|AB|=

(-3-0)2+( 5 2 -1)2

=

3

2

5

．
將直線y=-

1

2

x+1平移至與二次函數y=-

5

4

x²-

17

4

x+1的圖象相切，得到直線l′，
設直線l′的方程為：y=-

1

2

x+m，
∴5x²+15x+4m-4=0，
根的判別式△=0，
∴15²-4×5×（4m-4）=0，
∴m=

61

16

，
∴直線l′的方程為：y=-

1

2

x+

61

16

，
∴直線y=-

1

2

x+1與直線l′：y=-

1

2

x+

61

16

的距離為：
d=

|-2+ 61 8 |

12+22

=

9 5

8

．
S_△ABN=

1

2

×

3

2

5

×

9

8

5

=

135

32

．
∴△ABN的最大面積為：

135

32

．

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系、弦長公式、直線與拋物線相切，本題難度不大，屬于基礎題．