Question

【題目】設點A是拋物線上到直線的距離最短的點，點B是拋物線上異于點A的一點，直線AB與l交于P，過點P作y軸的平行線交拋物線于點C.

（1）求點A的坐標；

（2）求證：直線BC過定點；

（3）求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）見解析.

（3）

【解析】

（1）根據拋物線方程，設，得其到直線的距離，再用二次函數求解.

（2）設，表示直線的坶與聯立，求得，則，可得直線的直線方程，整理得：可得定點；

（3）根據直線的過定點，設其方程為，與拋物線方程聯立可得，由弦長公式得 ，點A到線的距離，則由求解.

（1）設，則，當取得最小值，則；

（2）設，可得聯立

得，

所以

所以，

所以直線，

整理得：，

則過定點；

（3）可設直線BC為，與拋物線聯立可得，

設，，

則，

又因為點A到直線BC的距離，

所以面積為，

當時，此時.