Question

已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.

（Ⅰ）求點M的軌跡方程；

（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.

求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)點 的坐標為 則, ,化簡可得軌跡方程.

（Ⅱ）設(shè)出直線PE、PF的點斜式方程,分別求出它們與圓（）相切條件下與曲線C的另一交個交點Q、R.的坐標,寫出直線的方程,點到直線的距離公式可求的底邊上的高.進而得出面積的表達式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點， 2分

整理得點M所在的曲線C的方程：（） 3分

（Ⅱ）由題意可得點P（） 4分

因為圓的圓心為（1，0），

所以直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù) 5分

設(shè)直線PE的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立消去，得：

， 6分

由于1是方程的一個解，

所以方程的另一解為 7分

同理 8分

故直線RQ的斜率為

= 9分

把直線RQ的方程代入橢圓方程，消去整理得

所以 10分

原點O到直線RQ的距離為 11分

12分

考點：1、動點軌跡方程的求法；2、直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系；3、基本不等式的應用.