Question

【題目】已知圓C的圓心在直線x﹣2y=0上．
（1）若圓C與y軸的正半軸相切，且該圓截x軸所得弦的長為2 ，求圓C的標準方程；
（2）在（1）的條件下，直線l：y=﹣2x+b與圓C交于兩點A，B，若以AB為直徑的圓過坐標原點O，求實數b的值；
（3）已知點N（0，3），圓C的半徑為3，且圓心C在第一象限，若圓C上存在點M，使MN=2MO（O為坐標原點），求圓心C的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為圓C的圓心在直線x﹣2y=0上，所以可設圓心為（2a，a）．

因為圓C與y軸的正半軸相切，所以a＞0，半徑r=2a．

又因為該圓截x軸所得弦的長為2 ，

所以a2+（ ）2=（2a）2，解得a=1．

因此，圓心為（2，1），半徑r=2．

所以圓C的標準方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=4

（2）解：由 消去y，得（x﹣2）2+（﹣2x+b﹣1）2=4．

整理得5x2﹣4bx+（b﹣1）2=0．（★）

由△=（﹣4b）2﹣4×5（b﹣1）2＞0，得b2﹣10b+5＜0（※）

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2= ，x1x2=

因為以AB為直徑的圓過原點O，可知OA，OB的斜率都存在，

且kOAkOB= =﹣1

整理得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣2x1+b）（﹣2x2+b）=0．

化簡得5x1x2﹣2b（x1+x2）+b2=0，即（b﹣1）2﹣2b +b2=0．

整理得2b2﹣10b+5=0．解得b= ．

當b= 時，2b2﹣10b+5=0，b2﹣10b+5=﹣b2．③

由③，得b≠0　從而b2﹣10b+5=﹣b2＜0

可見，b= 時滿足不等式（※）．b= 均符合要求

（3）解：圓C的半徑為3，設圓C的圓心為（2a，a），由題意，a＞0．

則圓C的方程為（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9．

又因為MN=2MD，N（0，3），設M點的坐標為（x，y），

則 = ，整理得x2+（y+1）2=4．

它表示以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，記為圓D．

由題意可知，點M既在圓C上又在圓D上，即圓C和圓D有公共點．

所以|3﹣2|≤ ，且a＞0．

即1 ，且a＞0．

所以 即

解得0＜a≤2．

所以圓心C的縱坐標的取值范圍是（0，2]

【解析】（1）設圓心為（2a，a），通過圓C與y軸的正半軸相切，得到半徑r=2a．利用該圓截x軸所得弦的長為2 ，列出方程求解即可．（2）由 ，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達定理以及判別式，結合直線的斜率關系，即可求出b的值．（3）設圓C的圓心為（2a，a），圓C的方程為（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9，設M點的坐標為（x，y），利用|3﹣2|≤ ，且a＞0，求出圓心C的縱坐標的取值范圍是（0，2]．