【題目】已知橢圓
，離心率為
，直線
恒過
的一個焦點
.
（1）求的標準方程；
（2）設
為坐標原點，四邊形
的頂點均在上，
交于，且
，若直線
的傾斜角的余弦值為
，求直線
與
軸交點的坐標.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）將
轉化成直線點斜式方程形式，求出所過的恒點，進而知道橢圓的焦點，再根據橢圓的離心率公式進行求解即可.
（2）根據向量等式，可以確定
分別是
的中點.設
，求出直線
的方程，與橢圓方程聯立，消元，利用一元二次方程根與系數關系，求出
的坐標，同理求出
點坐標，求出直線
的方程，最后求出直線與
軸交點的坐標.
（1）設橢圓的半焦距為
，可化為
，所以直線恒過點
，所以點
，可得
.因為離心率為
，所以
，解得
，由
得
，所以
的標準方程為.
（2）因為
，所以
.由
得分別是的中點.設.由直線的傾斜角的余弦值為
，得直線的斜率為2，所以
，聯立
消去
，得
.顯然，
，且
， 
，所以
，可得
，同理可得
，所以
，所以
.令
，得
，所以直線與軸交點的坐標為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某次考試后，對全班同學的數學成績進行整理，得到表：
分數段 |
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人數 | 5 | 15 | 20 | 10 |
將以上數據繪制成頻率分布直方圖后，可估計出本次考試成績的中位數是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分13分）如圖，在直角坐標系
中，角
的頂點是原點，始邊與
軸正半軸重合．終邊交單位圓于點
，且
，將角
的終邊按逆時針方向旋轉
，交單位圓于點
，記
．
（1）若
，求
；
（2）分別過
作
軸的垂線，垂足依次為
，記
的面積為
，
的面積為
，若
，求角
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過
的包裹收費
元；重量超過
的包裹，除
收費
元之外，超過
的部分，每超出
（不足
，按
計算）需再收
元.該公司將最近承攬的
件包裹的重量統計如下：
包裹重量（單位： |
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包裹件數 |
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公司對近
天，每天攬件數量統計如下表：
包裹件數范圍 |
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包裹件數 （近似處理） |
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天數 |
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以上數據已做近似處理，并將頻率視為概率.
（1）計算該公司未來
天內恰有
天攬件數在
之間的概率；
（2）（i）估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；
（ii）公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員
人，每人每天攬件不超過
件，工資
元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減
人，試計算裁員前后公司每日利潤的數學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義在
上的函數
，若函數
滿足：①在區間上單調遞減；②存在常數p，使其值域為
，則稱函數
為的“漸近函數”；
（1）證明：函數
是函數
的漸近函數，并求此時實數p的值；
（2）若函數
，證明：當
時，
不是的漸近函數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數且 
）曲線
的參數方程為
（
為參數，且
），以
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為：
，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求與的交點到極點的距離；
（2）設與交于
點，與交于
點，當
在
上變化時，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業打算處理一批產品，這些產品每箱100件，以箱為單位銷售.已知這批產品中每箱出現的廢品率只有
或者
兩種可能，兩種可能對應的概率均為0.5.假設該產品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢.現處理價格為每箱8400元，遇到廢品不予更換.以一箱產品中正品的價格期望值作為決策依據.
（1）在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；
（2）現允許開箱，有放回地隨機從一箱中抽取2件產品進行檢驗.
①若此箱出現的廢品率為，記抽到的廢品數為
，求的分布列和數學期望；
②若已發現在抽取檢驗的2件產品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買.
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