Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中，極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（2）判斷曲線與曲線的位置關(guān)系，若兩曲線相交，求出兩交點(diǎn)間的距離.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，即，利用，即可化為直角坐標(biāo)方程，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去即可化為普通方程；（2）由（1）知曲線和曲線都是圓，將兩圓方程相減即可得兩圓公共弦所在的直線方程，即可求出兩交點(diǎn)間的距離.

試題解析：（1）∵

∴，

將代入上式整理得曲線的直角坐標(biāo)方程為，

由為參數(shù)）消去參數(shù)得曲線的普通方程為.

（2）由（1）知曲線是圓心為（1,0），半徑的圓，

曲線是圓心為（0,1），半徑=2的圓，

∵，∴兩圓相交，

兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程為，

∴圓心到公共弦所在直線的距離為=，

∴公共弦長為=.