【題目】已知函數
.
（1）求
的單調遞增區(qū)間；
（2）若函數有兩個極值點
且
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
時，增區(qū)間為
；
時，增區(qū)間為
；
時，增區(qū)間為
，；（2）
.
【解析】
（1）求出
，分三種情況討論
的范圍，在定義域內，令
求得
的范圍，可得函數
增區(qū)間；（2）由（1）知， 且
，
， 
恒成立，可化為
恒成立，利用導數求出函數
，
的最小值即可得結果.
（1）函數
的定義域為，
，
令
，
，
若時，
，
在恒成立，函數在上單調遞增.
若
，
，方程，
兩根為
，
，
當時，
，
，
，單調遞增.
當時，
，，
，，單調遞增，，，單調遞增.
綜上，時，函數單調遞增區(qū)間為，
時，函數單調遞增區(qū)間為，
時，函數單調遞增區(qū)間為，.
（2）由（1）知，存在兩個極值點
時，且，，則
，
，且
，
.
此時恒成立，可化為
恒成立，
設，，
，
因為
，所以
，
，所以
，故
在
單調遞減，
，所以實數
的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
（1）當
，
時，求函數
在
上的最小值；
（2）若函數在
與
處的切線互相垂直，求
的取值范圍；
（3）設
，若函數有兩個極值點
，
，且
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是邊長為
的菱形，
，
，
為
的中點，
為
的中點，點
在線段
上，且
．
（1）求證：
平面；
（2）若平面
底面ABCD，且
，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“克拉茨猜想”又稱“
猜想”，是德國數學家洛薩克拉茨在1950年世界數學家大會上公布的一個猜想：任給一個正整數
，如果是偶數，就將它減半；如果為奇數就將它乘3加1,不斷重復這樣的運算，經過有限步后，最終都能夠得到1.己知正整數
經過6次運算后得到1，則的值為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是拋物線
：
上一點，且
到的焦點的距離為
．
（1）若直線
與交于
，
兩點，
為坐標原點，證明：
；
（2）若
是上一動點，點不在直線
：
上，過作直線垂直于
軸且交于點
，過作的垂線，垂足為
．試判斷
與
中是否有一個為定值？若是，請指出哪一個為定值，并加以證明；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠
，
兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，生產線生產的產品為合格品的概率分別為
和
.
（1）從，生產線上各抽檢一件產品，若使得至少有一件合格的概率不低于
，求的最小值
.
（2）假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的作為的值.
①已知，生產線的不合格產品返工后每件產品可分別挽回損失
元和
元。若從兩條生產線上各隨機抽檢
件產品，以挽回損失的平均數為判斷依據，估計哪條生產線挽回的損失較多？
②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利
元、
元、
元，現從，生產線的最終合格品中各隨機抽取
件進行檢測，結果統計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為
，求的分布列并估算該廠產量
件時利潤的期望值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
）的左右頂點分別為
，
，點
在橢圓上，且
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線
不經過點
且與橢圓交于
，
兩點，若直線
與直線
的斜率之積為
，證明：直線過頂點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數
與燒開一壺水所用時間
的一組數據，且作了一定的數據處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖)．
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|
|
|
|
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|
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
．
（1）根據散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型?(不必說明理由)
（2）根據判斷結果和表中數據，建立關于的回歸方程；
（3）若旋轉的弧度數與單位時間內煤氣輸出量
成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數據
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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