Question

【題目】已知橢圓：（）的左右頂點分別為，，點在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線不經過點且與橢圓交于，兩點，若直線與直線的斜率之積為，證明：直線過頂點.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：第一問利用三角形的面積求得所滿足的關系，結合點在橢圓上，以及橢圓中的關系，求得其值，得到橢圓的方程，第二問涉及直線與橢圓相交，需要設出直線的方程，先去驗證直線的斜率是存在的，設出方程之后，與橢圓方程聯立，消元，利用韋達定理得到其兩根和與兩根積，利用題中所給的斜率的關系，得出等量關系式，從而求得直線過定點.

詳解：（1）由題意可設橢圓的半焦距為，

由題意得：

所以

所以橢圓的方程為：

（2）當直線的斜率不存在時，可設其方程為且），

不妨設，且

故把代換化簡得：，不合題意

設直線的方程為，，

聯立

，

由，是上方程的兩個根可知：

由，

化簡整理得：

即

故或（舍去，因為此時直線經過點）

把代入得

所以直線方程為（），恒過點