Question

已知f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1
（1）求函數y=f（x）的最小正周期及其圖象的對稱中心；
（2）求函數f（x）在區間[0，

2π

3

]上的取值范圍；
（3）若x∈[0，m]時，有y=f（x）的值域為[1，2]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用三角函數的倍角公式以及輔助角公式將函數進行化簡求函數y=f（x）的最小正周期及其圖象的對稱中心；
（2）根據三角函數的圖象和性質，求函數f（x）在區間[0，

2π

3

]上的取值范圍；
（3）若x∈[0，m]時，求出2x+

π

6

的范圍，結合y=f（x）的值域為[1，2]，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）
則函數y=f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x+

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z，
即函數圖象的對稱中心為（

kπ

2

-

π

12

，0）k∈Z；
（2）∵0≤x≤

2π

3

，∴0≤2x≤

4π

3

，

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，則1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
即函數f（x）在區間[0，

2π

3

]上的取值范圍是[1，2]；
（3）若x∈[0，m]時，則0≤2x≤2m，

π

6

≤2x+

π

6

≤2m+

π

6

，
∵當2x+

π

6

=

π

6

時，f（x）=2sin（2x+

π

6

）=1，
若y=f（x）的值域為[1，2]，
則

π

2

≤2m+

π

6

≤

5π

6

，
即

π

6

≤m≤

π

3

，
即實數m的取值范圍是[

π

6

，

π

3

]．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式將函數進行化簡，考查學生的運算能力．