Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在區間[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上為單調函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函數f（x）=ax2﹣2ax+2+b=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），對稱軸為x=1，

當a＞0時，函數f（x）在區間[2，3]上單調遞增，由題意可得 ，

解得 ．

當a＜0時，函數f（x）在區間[2，3]上單調遞減，由題意可得 ，

解得 ．

綜上可得， ，或

（2）解：若b＜1，則由（1）可得 ，g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2，

再由函數g（x）在[2，4]上為單調函數，可得 ≤2，或 ≥4，

解得 m≤2，或m≥6，

故m的范圍為（﹣∞，2]∪[6，+∞）

【解析】（1）根據函數的解析式不難得出其對稱軸為x=1，對a進行分類討論，當a＞0時f（2）=2，f（3）=5，當a＜0時f（2）=5，f（3）=2，解出a，b，（2）當b小于1時，由（1）可得，a=1，b=0，寫出g（x）的解析式，根據二次函數的單調性解出m的取值范圍.
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的性質(函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集)，還要掌握二次函數在閉區間上的最值(當時，當時，；當時在上遞減，當時，)的相關知識才是答題的關鍵．