Question

設函數f（x）=lnx-x+1，
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求證：lnx≤x-1．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）先求函數的定義域（0，+∞），再求導f′(x)=

1

x

-1；從而確定單調區間．
（2）由（1）知f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）為減函數，從而化為最值問題．

解答： 解：（1）由已知得x∈（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-1；
令f'（x）＞0，得

1

x

-1＞0，
解得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上為增函數，
令f'（x）＜0，得

1

x

-1＜0，
解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）為減函數．
（2）證明：由（1）知：
∵f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）為減函數．
∴當x=1時，f（x）_max=-1+1=0；
對任意x∈（0，+∞），有f（x）≤0，
即lnx-x+1≤0．
即lnx≤x-1．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的處理方法應用，屬于中檔題．