Question

【題目】在圓上有21個點.證明：以這些點為端點組成的所有弧中，不超過120°的弧不少于100條.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

圓上任三點分圓所成的三段弧中，至少有一段弧超過120°.將這不超過120°弧的兩個端點連上弦，這樣，圓上任意三個點中至少有兩點有弦（稱為“邊”)相連.由于這樣的“邊”與不超過120°的弧建立一一對應(yīng).所以只需證明，圓上21個點連結(jié)的“邊”不少于100即可.

設(shè)是連結(jié)“邊”數(shù)最少的那個頂點，，

是從引出的共有條“邊”.

由于每個點引出不少于條“邊”，所以，所有這些“邊“不少于條.其余個點中的任意點，它們不應(yīng)與有“邊”連結(jié).但任三點中都至少有兩個點有“邊”連結(jié)，所以它們每兩個點間都有“邊”連結(jié).這樣，又得到不少于條“邊，以表記這21個點間連有“邊”的總數(shù)，則.

由，的極小值點鄰近的整數(shù)為及.

在中，，

.

上述最小值是可以達(dá)到的.作圓的一條直徑.在點近旁的圓弧上取10個點，在點的近旁的圓弧上取11個點.即可合于要求.這21個點間連結(jié)有條“邊”