Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥ABB1A1平面．

（1）證明：BC⊥AB1；

（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）要證明，可證明垂直于所在平面，已知垂直于側面，所以垂直于，只要在矩形垂直與即可，可利用角的關系加以證明；（2）分布以所在的直線為軸，以為原點，建立空間直角坐標系，求出，平面一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結論．

試題解析：證明：由題意，因為ABB1A1是矩形，

D為AA1中點，AB=2，AA1=2，AD=，

所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，

在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，

所以∠AB1B=∠ABD，

又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，

所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因為CO⊥側面ABB1A1，

AB1側面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因為BC面BCD

所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）解：如圖，分別以OD，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O為原點，建立空間直角坐標系，則A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），

又因為=2，所以

所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），

=（，0，﹣），

設平面ABC的法向量為=（x，y，z），

則根據可得=（1，，﹣）是平面ABC的一個法向量，

設直線CD與平面ABC所成角為α，則sinα=，

所以直線CD與平面ABC所成角的正弦值為．