Question

【題目】已知CD是等邊三角形ABC的AB邊上的高,E,F分別是AC和BC邊的中點,現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

(1)求直線BC與平面DEF所成角的余弦值;

(2)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）以D為原點建立空間直角坐標系，設等邊三角形ABC的邊長為，可得直線BC的方向向量和平面EDF的法向量=(3,-,3)，設直線BC與平面DEF所成角為，則有，然后再求出，即為所求．（2）假設在線段BC上存在一點,使得AP⊥DE，則由=可得P，于是，由可得，符合題意，進而得到結論．

(1)以點D為坐標原點,直線DB,DC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標系,

設等邊三角形ABC的邊長為a,則A,B,C,E,F,

設平面EDF的法向量為,

則

取=(3,-,3).

又因為,

設直線BC與平面DEF所成角為，

則，

所以，

即直線BC與平面DEF所成角的余弦值等于.

(2)假設在線段BC上存在一點,使AP⊥DE,

令=,

即=λ,

則P,

于是.

因為AP⊥DE,

所以，

整理得λa2-a2=0,

解得，符合題意.

故線段BC上存在一點P,使AP⊥DE.