Question

已知點分別為橢圓的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F₂的距離的最大值為，且的最大面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）點M的坐標為，過點F₂且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A、B兩點，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由P到焦點F₂的距離的最大值為，可得，由的最大面積為1，可得bc=1，結合a²=b²+c²，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數量積運算，化簡即可求得的值．
解答：解：（Ⅰ）依題意，∵P到焦點F₂的距離的最大值為，
∴，①
∵的最大面積為1，
∴，②
又a²=b²+c²，③
由①②③解得：a²=2，b²=c²=1，得橢圓方程為
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由于點M 在橢圓內，顯然上式的判別式△＞0恒成立，故直線L總與橢圓C相交于A、B兩點
設，
∴，，，
∴==
故=．
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量的數量積，考查學生的計算能力，屬于中檔題．