Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)若拋物線上一點(diǎn)滿足，求的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) ； (Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ) 由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，把已知點(diǎn)代入解得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)先由直線與圓相切得圓心到直線的距離為圓的半徑，可得與的關(guān)系式，在把直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組整理為關(guān)于的方程，利用判別式大于0求得的取值范圍，并設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系式和已知向量的關(guān)系式，把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，再代入拋物線方程，把用表示出來(lái)，從而可得的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ) 設(shè)拋物線方程為， 由已知得：， 所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為  .      4分
(Ⅱ) 因?yàn)橹本�與圓相切， 所以  ，     6分
把直線方程代入拋物線方程并整理得：，   7分
由， 得 或，               8分
設(shè)， 則，
，
由，
得 ，                               11分
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，
，                 13分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024835988394.png" style="vertical-align:middle;" />或，所以  或 ，
所以 的取值范圍為  .               15分