Question

【題目】已知原點到動直線的距離為2，點到，的距離分別與到直線的距離相等．

（1）證明為定值，并求點的軌跡方程；

（2）是否存在過點的直線，與點的軌跡交于兩點，為線段的中點，且？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析，．（2）見解析，或．

【解析】

（1）根據題意易證為定值，由，判定的軌跡為中心在原點，以為焦點的橢圓，根據橢圓定義可得橢圓方程；

（2）根據題意知直線的斜率存在，設出直線方程，與橢圓聯立，由得出的取值范圍，再由推得，有韋達定理即可得出直線的方程.

（1）設點到直線的距離分別為．

由已知，，，

又為的中點，

．

由橢圓定義可知，點的軌跡為中心在原點，以為焦點的橢圓．

，．．

點的軌跡方程為．

（2）假設直線存在，當的斜率不存在時，顯然不成立

設，，．

由得

，或．

，．

，

．

．

．

．

解得或．

，且，

存在直線滿足條件，直線的方程為或，即或．