Question

曲線C是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的右支，已知它的右準線方程為l：x=

1

2

，一條漸近線方程是y=

3

x，線段PQ是過曲線C右焦點F的一條弦，R是弦PQ的中點．
（1）求曲線C的方程；
（2）當點P在曲線C上運動時，求點R到y軸距離的最小值；
（3）若在直線l的左側能作出直線m：x=a，使點R在直線m上的射影S滿足

PS

•

QS

=0．當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由漸近線方程可設雙曲線C的方程為：

x2

λ

-

y2

3λ

=1（x≥

λ

），λ＞0然后根據準線方程可求λ，即可求解
（2）由（1）知F，設處出弦PQ的方程y=k（x-2），代入雙曲線方程，根據方程的根與系數關系可求k的范圍，然后根據點R到y軸距離及所求k的范圍即可求解；當弦PQ的斜率不存在時，點R到y軸距離容易求解
（3）由

PS

•

QS

=0，可知△PSR為直角三角形，可求R到直線m的距離，結合雙曲線的焦半徑公式可得x_R與a之間的關系，結合|x_R|≥2，a≤

1

2

可求

解答：解：（1）設雙曲線C的方程為：

x2

λ

-

y2

3λ

=1（x≥

λ

），λ＞0
則它的右準線方程為x=

λ

2 λ

=

λ

2

由已知可得，

λ

=1
∴λ=1
故所求雙曲線方程為x2-

y2

3

=1（x≥1）
（2）由（1）知，曲線C的右焦點F（2，0）
若弦PQ的斜率存在，則弦PQ的方程y=k（x-2），代入雙曲線方程可得
（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則

△=16k4+4(3-k2)(3+4k2)＞0 x1+x2=- 4k2 3-k2 ＞0 x1x2= -(3+4k2) 3-k2 ＞0

解得：k²＞3，
點R到y軸距離：|xR|=|

x1+x2

2

|=

2k2

k2-3

=2+

6

k2-3

＞2
而當弦PQ的斜率不存在時，點R到y軸距離|x_R|=2．
所以點R到y軸距離的最小值為2．…8′
（3）∵點R在直線m上的射影S滿足

PS

•

QS

=0，

∴PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形， ∴R到直線m：x=a(a≤ 1 2 )的距離|RS|= |PQ| 2 =xR-a

…①
∵

PF

x1- 1 2

=

QF

x2- 1 2

∴PQ=PF+QF=2（x₁+x₂-1）=4x_R-2②
②代入①可得2x_R-1=x_R-a
∴x_R=1-a
∵|x_R|≥2，a≤

1

2

∴a≤-1

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線方程，直線與雙曲線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用是求解直線與曲線相交關系常用的方法