Question

曲線C是中心在原點，焦點為（2，0）的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是y=

3

x．線段PQ是過曲線C右焦點F的一條弦，R是弦PQ的中點．
（I）求曲線C的方程；
（II）當點P在曲線C上運動時，求點R到y軸距離的最小值．

Answer 1

分析：（I）設曲線C的方程為

x2

λ

+

y2

3λ

+1(x≥

λ

，λ＞0)，由λ+3λ=4，解得λ=1．由此能得到曲線C的方程．
（II）設弦PQ的方程為y=k（x-2），代入曲線C的方程得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，設點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），能求出k²＞3．點R到y軸距離|xR|=|

x1+x2

2

|=

2k2

k2-3

=2+

6

k2-3

＞2．當弦PQ的斜率不存在時，點R到y軸距離|x_R|=2．由此能求出點R到y軸距離的最小值．

解答：解：（I）設曲線C的方程為

x2

λ

+

y2

3λ

+1(x≥

λ

，λ＞0)，
∵λ+3λ=4，解得λ=1．
故所求曲線C的方程是x2-

y2

3

=1(x≥1)…（5分）
（II）當弦PQ的斜率存在時，則弦PQ的方程為y=k（x-2），
代入曲線C的方程得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
設點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
由

16k4+4(3-k2)(-4k2-3)＞0 x1+x2=- 4k2 3-k2 ＞0 x1x2=- 4k2+3 3-k2 ＞0

⇒k2＞3…（9分）
點R到y軸距離|xR|=|

x1+x2

2

|=

2k2

k2-3

=2+

6

k2-3

＞2．…（12分）
當弦PQ的斜率不存在時，
點R到y軸距離|x_R|=2，…（13分）
點R到y軸距離的最小值為2．…（14分）

點評：本題考查曲線C的方程的求法和當點P在曲線C上運動時，求點R到y軸距離的最小值．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．