Question

（12分）曲線C是中心在原點，焦點在軸上的雙曲線，已知它的一個焦點F的坐標為（2，0），一條漸進線的方程為，過焦點F作直線交曲線C的右支于P．Q兩點，R是弦PQ的中點。

  （Ⅰ）求曲線C的方程；

  （Ⅱ）當點P在曲線C右支上運動時，求點R到軸距離的最小值；

  （Ⅲ）若在軸在左側能作出直線，使以線段pQ為直徑的圓與直線L相切，求m的取值范圍。

Answer 1

解析：（Ⅰ）設所求雙曲線C的方程為-=1，

由題意得：

所以，所求曲線C的方程為          ……………3分

（Ⅱ）若弦PQ所在直線斜率K存在，則設其方程為y=k (x-2)

由

設點P

解得

此時點R到y軸的距離

而當弦PQ所在直線的斜率不存在時，點R到Y軸的距離為2，

所以，點R到Y軸距離的最小值為2。        ………………8分

（Ⅲ）因為直線L:x=m與以PQ為直徑的圓相切

所以雙曲線離心率e=，右準線方程為

所以|PQ|=|PF|+|QF|=2

所以，所以

因為       ………………12分