Question

△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別是a，b，c，給出下列命題：
①若sinBcosC＞-cosBsinC，則△ABC一定是鈍角三角形；
②若sin²A+sin²B=sin²C，則△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，則△ABC為等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
⑤若△ABC為銳角三角形，則sinA＜cosB．
其中正確命題的序號是

②③④

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①把已知條件變形只能得到0＜B+C＜π推不出是鈍角三角形；
②利用正弦定理化角為邊可得a²+b²=c²，從而判定三角形的形狀
③利用正弦定理化邊為角整理可得sin（B-A）=0，即可得出結論
④先根據大角對大邊得到a＞b，再結合正弦定理化邊為角即可得到結論．
⑤直接根據△ABC為銳角三角形，得到A+B＞

π

2

⇒

π

2

＞A＞

π

2

-B⇒sinA＞sin（

π

2

-B）即可．

解答：解：①若sinBcosC＞-cosBsinC⇒sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）＞0⇒0＜B+C＜π，所以①不一定成立；
②∵sinA=

a

2r

，sinB=

b

2r

，sinC=

c

2r

，∴

a2

4r 2

+

b2

4r 2

=

c2

4r 2

，即a²+b²=c²，∴△ABC是直角三角形，②成立，
③若bcosA=acosB⇒2rsinBcosA=2rsinAcosB⇒sin（B-A）=0⇒A=B即③成立．
④在△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2rsinA＞2rsinB⇒sinA＞sinB即④成立；
⑤若△ABC為銳角三角形，A+B＞

π

2

⇒

π

2

＞A＞

π

2

-B⇒sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB即⑤不成立．
故正確命題的是②③④．
故答案為：②③④．

點評：本題是對三角形形狀的判斷．解決②③④的關鍵在于對正弦定理的應用，屬于基礎題，但也是易錯題．